Bienvenue sur ce cours sur le théorème de Pythagore.
Le Théorème de Pythagore est une leçon vue en classe 4ème. On y passe généralement quelques semaines et ce cours est fondamental.
Il n'est cependant pas très compliqué. Ce théorème s'applique à partir de triangles rectangles. Nous allons apprendre à déterminer la troisième longueur d'un triangle rectangle puis démontrer que ce triangle est rectangle ( si cela n'est pas indiqué dans l'énoncé ).
Bon apprentissage !

Le Théorème de Pythagore.

1. Enoncé du théorème.

Un triangle ABC rectangle en A est un triangle tel que :
AB² + AC² = BC²

Exemple :
AB= 3 ; AC=4 ; BC=5
AB²= 9 ; AC²= 16 ; BC= 25
AB² + AC²= 9 + 16 = 25 ( C'est bien égal à BC² )

Remarque :
Le triplet (3 ; 4 ; 5) qui caractérise un triangle rectangle, est appelé un triplet pythagoricien. Il existe une infinité de ces triplets, car on peut associer à chaque triangle, un triplet représentant les mesures de ses côtés.

2. Conséquences

L'hypothénuse est le plus long côté d'un triangle rectangle.

Si ABC est un triangle rectangle en A alors :
BC>AB et BC>AC.

3. Théorème utilisé dans le sens direct

a) Enoncé.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si ABC est un triangle rectangle en A alors : BC² = AB² + AC².

b) Utilisation : calcul d'une longueur

Lorsqu'on sait qu'un triangle est rectangle et que l'on connait la longueur de 2 de ses côtés, alors on peut calculer grâce à l'égalité des carrés, la longueur du troisième côté ( pas forcément l'hypothénuse ).

Exemple : Calculer la longueur manquante dans chaque cas.


Le triangle BVU est rectangle en V.
Donc d'après le théorème de Pythagore :
BU²= BV²+ VU²
BU²= 92²+ 69²
BU²= 8464 + 4761
D'où : BU= V13225
BU= 115 cm

Le triangle JKH est rectangle en H
Donc, d'après le théorème de Pythagore :
JK² = HK² + JH²
75² = 45² + JH²
75² - 45² = JH²
5625 - 2025 = JH²
JH² = 3600
D'où : JH= V3600

c) Démonstration

On considère quatre triangles rectangles identiques, par exemple tels que :
a = 3cm et b = 5 cm. Puis un carré de côté a+b = 8cm, sur lequel on dispose les quatres triangles, comme sur les figures 1 et 2.



Pour résoudre ce problème, il faut connaître les longueurs de tous les côtés, on a pour la figure 1:
AIL = OLB = COR = IRD
ALI = BOL = CRO = DIR

Prouvons que dans la figure 1, LORI est un carré, puis calculons son aire.
Prouvons que dans la figure 2, ESKY et FUGY sont des carrés, puis calculons leurs aires. Comparons les surfaces restantes des figures 1 et 2. Conclusion

* Dans la figure 1 :
.LORI est un losange car il a quatres côtés égaux à c.
.LORI est un carré car il possède un angle droit :
- les angles aigus d'un triangle complémentaires, donc :
ALI + OLB = 90°
- si on calcule l'angle en L.
ILO = ALB -(ALI + OLB) = 180° - 90° = 90°
Aire LORI = c x c = c²

* Dans la figure 2 :
. ESKY est un carré car il possède un angle droit et il a quatre côtés égaux
Aire ESKY = a x a = a² . FUGY est aussi un carré de côté b.

* Comparons les aires restantes dans les deux figures, en dehors des quatre triangles rectangles jaunes.
figure 1 : Aire totale - 4 x Aire triangles = A LORI = c²
figure 2 : Aire totale - 4 x Aire triangles = Aire ESKY + Aire FUGY = a² + b²

Comme les aires restantes doivent êtres égales, on en a déduit :
c² = a² + b² . On a démontré l'égalité des carrés.

4. Théorème utilisé dans le sens indirect

a) Enoncé

Si dans un triangle ABC (quelconque au départ), l'égalité des carrés est vérifiée : AB² + AC² = BC² alors le triangle est rectangle en A.

Si dans un triangle ANC (quelconque au départ), l'égalité des carrés n'est pas vérifiée : AB² + AC² différent de BC² alors le triangle n'est pas rectangle en A.

b) Utilisation : montrer q'un triangle est ou n'est pas rectangle.

Lorsqu'on connait la longueur des trois côtés d'un rectangle, alors on peut prouver :
. que ce triangle est rectangle , dans ce cas où l'égalité de Pythagore est vérifiée . que ce triangle n'est pas rectangle, dans le cas où l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée

Exemple : indiquer, dans chaque cas, si le triangle est rectangle.

Triangle ABC :

Le plus long côté est [AC].
D'une part : AC² = 12,5² = 156,25²
D'autre part : AB² + BC² = 7,5² + 10² = 56,25 + 100 = 156,25

Comme on a AC² = AB² + BC² l'égalité de Pythagore est vérifiée et le triangle est rectangle en B.

Triangle DEF :

Le plus long côté est [EF].
D'une part : EF² = 5,8² = 33,64
D'autre part : ED² + DF² = 3,36² + 4,48² = 11,2896 + 20,0704 = 31,36

Comme EF² est différent de ED² + DF², l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée et le triangle n'est pas rectangle.